Perspectiva cónica dunha esfera e da súa sombra

sábado 5 de setembro do 2015, por Horacio González Diéguez

Perspectiva dun punto P entendida como a traza vertical da recta PV

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Descargar Macro perspectiva dun punto de Horacio González Diéguez en formato Zip (1.5 KB)

CC by-nc-sa

Contorno visible dunha esfera dende un punto de vista V

1. Para representar unha esfera en cónico é necesario atopar o contorno visible da mesma. Neste exemplo calculouse o contorno como o lugar xeométrico de todos os puntos de tanxencia das rectas tanxentes á esfera que pasan polo punto de vista V. Para facelo, utilizouse unha representación auxiliar de perfil coincidente coa representación en planta da esfera, facendo un cambio de plano vertical no que se utilizou a representación en planta da recta r que pasa polo centro da esfera O e polo punto de vista V, r1 como liña de terra.
2. Na representación auxiliar de perfil o contorno visible da esfera corresponde a sección da esfera por un plano proxectante que pasa polos puntos de tanxencia das rectas tanxentes á circunferencia que pasan polo punto de vista de perfil V3.
3. A sección da esfera polo plano proxectante é unha circunferencia con diámetro TT, para tomar as medidas de dita sección, representouse a sección en medida real directamente sobre a representación auxiliar de perfil. Como o contorno visible da esfera trazouse utilizando a ferramenta lugar xeométrico, unicamente foi necesario tomar as medidas dun único punto da sección, P, e levalas do perfil á planta e ao alzado. Optouse por debuxar o punto nicialmente sobre a representación en planta da esfera e trasladalo despois ata a representación da sección en medida real para facer a macro final mais elegante e sinxela e utilizar.

4. Para calcular un punto equivalente a P na representación da sección en medida real, trasladouse o centro da sección en medida real polo vector O1P e trazouse unha semirrecta con orixe no centro de dita sección pasando polo punto trasladado. Dita semirrecta corta á sección en medida real nun punto P’ da sección que foi o que se utilizou para calcular o do contorno visible da esfera.
5. Por tratarse dunha sección por un plano proxectante, na representación auxiliar de perfil o punto P3 está contido na sección da esfera, nunha perpendicular á mesma polo punto P’. Para levar a medida P3P’ ata a representación en planta utilizouse unha traslación por un vector e unha rotación co fin de evitar os inconvintes da ferramenta compás, que podería dar como resultado puntos erróneos.
6. Finalmente trasladaremos a altura de P3 ao alzado utilizando o compás. Para trasladar dita medida é importante asegurarse de tomala sempre a partir dun punto que estea á altura dun extremo da circunferencia na construción auxiliar e utilizar unha semirrecta que vaia do extremo da circunferencia ao centro da circunferencia en alzado, para calcular a intersección do compás de xeito que Geogebra nunca atope a intersección errónea.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Sombra como proxección cilíndrica dun punto no plano xeometral

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Descargar Macro sombra dun punto de Horacio González Diéguez en formato Zip (1.2 KB)

CC by-nc-sa

Calculo da metade en sombra da esfera

1. Para contar cun elemento de referencia, no debuxo final engadirase a sombra da esfera no chan. Neste exemplo fíxose o cálculo de dita sombra como a proxección cilíndrica da mesma no plano xeometral, utilizando como referencia da dirección de proxección dous vectores, un en planta e outro en alzado.
2.Para calcular a metade que queda en sombra da esfera, debuxouse unha recta r que é paralela aos vectores de referencia e pasa polo centro da esfera. A continuación utilizouse unha representación auxiliar de perfil coincidente coa representación en planta da esfera, facendo un cambio de plano vertical no que utilizouse a representación en planta da recta, r1, como liña de terra. Para calcular a representación da recta r de perfil, r3, bastou levar unha medida de altura tomada no alzado á representación auxiliar de perfil. Ao igual que no exemplo anterior utilizouse unha traslación por un vector e unha rotación para evitar o uso da ferramenta compás.
3. Na construción auxiliar de perfil a metade en sombra da esfera quedará definida pola sección dun plano proxectante perpendicular á recta r3.

4. A sección da esfera polo plano proxectante é unha circunferencia con radio r polo que, para tomar as medidas de dita sección, usouse directamente a representación en planta da esfera. Por outra banda, calculouse a sección como lugar xeométrico, polo que unicamente foi necesario tomar as medidas dun punto P da sección e levalas do perfil á planta e o alzado.
5. O punto P trasladouse perpendicularmente dende a circunferencia ata a sección e para levar a medida P3P á planta en lugar de utilizar o compás fíxose unha traslación por un vector e unha rotación.
6. Finalmente trasladouse a altura de P3 ao alzado utilizando o compás. Para trasladar dita medida é importante asegurarse de tomala sempre a partir dun punto que estea á altura dun extremo da circunferencia na construción auxiliar e utilizar unha semirrecta que vaia do extremo da circunferencia ao centro da circunferencia en alzado, para calcular a intersección do compás de xeito que Geogebra nunca atope a intersección errónea.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Perspectiva dunha esfera e a súa sombra

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
2015 VHPLab. I 2014 I 2013 I
Español I English