O paradoxo de Leonardo

sábado 24 de decembro do 2016, por Horacio González Diéguez

O paradoxo de Leonardo dá Vinci describe como ao debuxar unha columnata situada fronte ao plano do cadro en perspectiva, as columnas van aumentando de grosor aparente a medida que se afastan cara aos extremos laterais contravindo a norma de que en perspectiva os obxectos mais afastados deben representarse proporcionalmente mais pequenos en función da distancia á que se atopen. Este efecto, facilmente observable mediante un gráfico feito con Geogebra, conduce a determinar que a superficie ideal para levar a cabo unha perspectiva non é o plano se non unha superficie curva, por exemplo a esfera ou un cilindro.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Se utilizamos unha columna de base circular para realizar a construción, veremos que o seu grosor aparente AB aumenta a medida que a columna afástase a dereita e esquerda.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Se utilizamos unha columna de base cadrada para realizar a construción, veremos que o seu grosor aparente AB é constante aínda cando a columna afástese a dereita e esquerda.

Aínda que, nos libros que teño na casa, non puiden atopar a cita exacta da que se extrae o paradoxo, entre as anotacións dos seus cadernos, que puiden consultar, atopei unha gran cantidade de consideracións do propio Leonardo dá Vinci acerca das aparencias ilusorias e erros da perspectiva Albertiana así como acerca da natureza curva do ollo e da esfera vítrea, polo queresulta plausible que o Leonardo da Vinci contemplase a posibilidade de trazar unha perspectiva sobre unha superficie curva. A continuación deixo algúns exemplos:

«Se se desexa representar unha cousa preto, que produza o efecto de algo natural, é imposible que a perspectiva non pareza falsa por mor de todas as aparencias ilusorias e os erros en proporción cuxa existencia pode asumirse nunha obra mediocre, a non ser que o espectador desta perspectiva estea a contemplala exactamente desde a mesma distancia, elevación, ángulo de visión ou punto en que se atopaba o pintor á hora de pintala.» Leonardo da Vinci

«As imaxes dos obxectos que se atopan diante do ollo pasan á esfera vítrea entrando pola pupila; dentro da pupila, crúzanse de forma que no lado esquerdo da esfera vítrea incide o raio dereito da esfera dereita, e o mesmo no lado contrario; despois penetran esta esfera vítrea , e os raios converxen e xúntanse moito máis cando están no lado contrario desta esfera que cando inciden nela ao principio.» Leonardo da Vinci

«A natureza deu forma convexa á superficie da pupila do ollo; así os obxectos circundantes poden plasmar as súas imaxes con maiores ángulos do que sería posible se a superficie do ollo fose plana.» Leonardo da Vinci

Por mor da celebración, en Pontevedra, da Terceira Conferencia Internacional de Arte Electrónica e Dixital, Artech, no ano 2006, Xabier Lorenzo Abalde e eu iniciamos unha colaboración contorna ás posibilidades da xeometría dinámica aplicada á perspectiva, particularmente aplicada a aqueles aspectos da perspectiva que se sitúan nas súas limites; cando esta falla ou deixa de funcionar correctamente. Aquel ano escribimos un texto chamado A perspectiva no abismo e o Paradoxo de Leonardo, xunto coa posibilidade de proxectar utilizando superficies curvas foron unhas das primeiras cuestións que exploramos durante a fase de investigación previa ao texto.

Moitas das animacións que fixemos nese momento son difíciles de recuperar xa que foron realizadas con Cabri Geometre II e as versións antigas deste programa deixaron de funcionar nos sistemas operativos actuais. Con todo, utilizando un sistema operativo virtual, logrei facer algunhas capturas dos estudos sobre o paradoxo que realizamos. Aínda que as imaxes e os propios estudos están algo desordenados, resultan particularmente interesantes tres aspectos: Unha serie de bosquexos nos que se estudou como definir as columnas a través da súa canaladura utilizando series de 4 lugares xeométricos. A simplificación deste xeito de definir as columnas utilizando unicamente rectas verticais a intervalos regulares no arco visible de cada columna, coma se tratásese das directrices dunha superficie de revolución. E, finalmente, o uso da perspectiva aérea vinculando a cor dos obxectos representados en perspectiva á súa distancia real ao momento de vista.

Perspectiva dun punto P calculada como intersección da recta PV cun cilindro

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Descargar Macro perspectiva Plano do Cadro cilíndrico de Horacio González Diéguez en formato Zip (2.4 KB)

CC by-nc-sa

Proxección cónica dun cubo nun cilindro

Este ano decidín retomar os estudos do paradoxo de Leonardo e traballar sobre a proxección cónica nun cilindro, no marco da sesión de Debuxo Técnico e Xeometría Dinámica II da materia de Complementos para a Ensinanza das Artes no Mestrado de Educación Secundaria da Universidade de Vigo. Durante a sesión que desenvolvemos o pasado 20 de decembro utilizamos unha macro como a anterior para debuxar un cubo proxectado nun cilindro e, unha vez feita a construcción, comprobamos como ao imprimir un debuxo, realizado do mesmo xeito, nun cilindro de papel e observalo dende o seu centro o efecto de curvatura das rectas quedaba corrixido e a perspectiva aparentaba correcta en calquera dirección.

1. Para realizar a construción en primeiro lugar debuxamos a planta do cubo en diédrico tomando como liña de terra o Eixo X. Neste tipo de debuxos normalmente comézase debuxando unha circunferencia de raio dado e un cadrado inscrito en dita circunferencia, para que ao rematar a construción podamos xirar o cubo respecto do seu centro.

2. Unha vez debuxada a planta do cubo trazaremos unha paralela ao Eixo X polo Eixo Y, que usaremos como referencia para a base do cubo en alzado, e levaremos os puntos B, C, D, E a dita recta trazando unha perpendicular ao Eixo X por cada un deles. Na intersección das rectas perpendiculares coa recta horizontal atoparemos os catro puntos da base no alzado. Utiliza subíndices para nomear correctamente os puntos en diédrico utilizando o subíndice 1 para a planta e renomeando e utilizando o subíndice 2 para o alzado.

3. Utiliza o compás para levar a altura do cubo, que é igual ao lado do cadrado, a calquera dos puntos do alzado. Traza unha paralela ao Eixo X pola intersección superior da circunferencia trazada co compás coa recta perpendicular correspondente ao punto escollido como centro. Na intersección das rectas perpendiculares coa segunda recta horizontal atoparemos os catro puntos da cara superior do cubo no alzado, noméaos consecutivamente respecto aos puntos da base e utiliza tamén o subíndice 2.

4. Para debuxar a proxección cónica do cubo nun cilindro necesitaremos representar o punto de vista en diédrico e a planta do cilindro. Debuxa un punto libre calquera en planta e noméao V1. A continuación, traza unha perpendicular ao Eixo X polo mesmo e, como referencia para a altura, unha paralela ao Eixo X por un punto calquera do Eixo Y; a intersección destas dúas rectas será V2. Finalmente, crea un deslizador con valores entre 1 e 10 que se chame r para o raio do cilindro e traza unha circunferencia con centro en V1 e raio r para debuxar o cilindro en planta.

5. Como estamos proxectando nun cilindro, as liñas da perspectiva van adquirir certa curvatura, polo que, para facer a construción, non podemos trazar a perspectiva de cada un dos oito vértices do cubo e debuxar as arestas como segmentos entre eles. No seu lugar, imos trazar a perspectiva de un punto situado en cada unha das caras e calcular o seu lugar xeométrico. Utiliza a ferramenta Punto en obxecto para debuxar un punto sobre o cadrado da planta e traza unha perpendicular ao Eixo X polo mesmo para calcular o seu alzado tanto na base como na cara superior do cubo.

6. Utiliza a ferramenta Perspectiva Superficie Cilíndrica para trazar a perspectiva do punto contido na base pulsando en P1, P2 Base, V1, V2 e introducindo r. A continuación calcula o lugar xeométrico do punto en perspectiva con respecto a P1 e como resultado obterás a base do cubo en perspectiva. Despois volve a utilizar a ferramenta Perspectiva Superficie Cilíndrica para trazar a perspectiva do punto contido na cara superior do cubo pulsando en P1, P2 Cara superior, V1, V2 e introducindo r. A continuación calcula o lugar xeométrico do punto en perspectiva con respecto a P1 e como resultado obterás a cara superior do cubo en perspectiva.

PNG - 153.4 KB

* Antes de continuar traballando move os elementos da construción para comprobar que todo funciona correctamente e trata de colocar os elementos de xeito que a perspectiva do cubo non quede superposta ao seu alzado. Para trazar as catro caras restantes do cubo necesitaríamos unha representación auxiliar de perfil na que situar o punto libre, por cada cada unha das caras, pero co fin de simplificar o debuxo e facilitar o traballo, no seu lugar imos utilizar a propia planta do cubo como representación auxiliar e o punto P1, como punto libre, o que requirirá certo esforzo de abstracción á hora de calcular cada un dos catro puntos.

7. Comezaremos a traballar na cara B C G H, para o que levaremos o punto P1 ao segmento B1C1 trazando unha recta perpendicular ao segmento que pase por P1; a intersección de dita recta perpendicular co segmento será a representación en planta do punto libre da cara B C G H, que chamaremos K1. A continuación imos levar a distancia K1P1 ao alzado, medida partir da base do cubo pero, para facer a construción mais robusta, utilizaremos unha traslación por un vector en lugar do compás. Traza un vector unitario entre os puntos (0, 0) e (0, 1), debuxa unha recta perpendicular ao Eixo X por K1 e calcula a súa intersección coa recta horizontal que sirve como referencia para a base do cubo. Finalmente traslada dita intersección polo vector unitario multiplicado pola distancia K1P1 e atoparas o alzado, K2, do punto libre da cara B C G H.

8. Utiliza a ferramenta Perspectiva Superficie Cilíndrica para trazar a perspectiva do punto libre da cara B C G H pulsando en K1, K2, V1, V2 e introducindo r. A continuación calcula o lugar xeométrico do punto en perspectiva con respecto a P1 e como resultado obterás a correspondente cara vertical do cubo en perspectiva.

9. A continuación trazaremos o punto libre da cara C D H J, do mesmo xeito que coa cara anterior, para o que levaremos o punto P1 ao segmento C1D1 trazando unha recta perpendicular ao segmento que pase por P1; a intersección de dita recta perpendicular co segmento será a representación en planta do punto libre da cara C D H J, que chamaremos L1. Para levar a distancia L1P1 ao alzado, tamén debuxaremos unha recta perpendicular ao Eixo X por L1 e calcularemos a súa intersección coa recta horizontal que sirve como referencia para a base do cubo. Finalmente trasladaremos dita intersección polo vector unitario multiplicado pola distancia L1P1 para atopar o alzado, L2, do punto libre da cara C D H J.

10. Utiliza a ferramenta Perspectiva Superficie Cilíndrica para trazar a perspectiva do punto libre da cara C D H J pulsando en L1, L2, V1, V2 e introducindo r. A continuación calcula o lugar xeométrico do punto en perspectiva con respecto a P1 e como resultado obterás a correspondente cara vertical do cubo en perspectiva.

11. Proseguiremos trazando o punto libre da cara D E I J, do mesmo xeito que coa cara anterior, para o que levaremos o punto P1 ao segmento D1E1 utilizando a recta perpendicular ao segmento que pase por P1 que debuxamos para a primeira cara; a intersección de dita recta perpendicular co segmento será a representación en planta do punto libre da cara D E I J, que chamaremos M1. Para levar a distancia M1P1 ao alzado, tamén debuxaremos unha recta perpendicular ao Eixo X por M1 e calcularemos a súa intersección coa recta horizontal que sirve como referencia para a base do cubo. Finalmente trasladaremos dita intersección polo vector unitario multiplicado pola distancia M1P1 para atopar o alzado, M2, do punto libre da cara D E I J.

12. Utiliza a ferramenta Perspectiva Superficie Cilíndrica para trazar a perspectiva do punto libre da cara D E I J pulsando en M1, M2, V1, V2 e introducindo r. A continuación calcula o lugar xeométrico do punto en perspectiva con respecto a P1 e como resultado obterás a correspondente cara vertical do cubo en perspectiva.

13. Finalizaremos a construción trazando o punto libre da cara B E G I, do mesmo xeito que coa cara anterior, para o que levaremos o punto P1 ao segmento E1B1 utilizando a recta perpendicular ao segmento que pase por P1 que debuxamos para a segunda cara; a intersección de dita recta perpendicular co segmento será a representación en planta do punto libre da cara B E G I, que chamaremos N1. Para levar a distancia N1P1 ao alzado, tamén debuxaremos unha recta perpendicular ao Eixo X por N1 e calcularemos a súa intersección coa recta horizontal que sirve como referencia para a base do cubo. Finalmente trasladaremos dita intersección polo vector unitario multiplicado pola distancia N1P1 para atopar o alzado, N2, do punto libre da cara B E G I.

14. Utiliza a ferramenta Perspectiva Superficie Cilíndrica para trazar a perspectiva do punto libre da cara B E G I pulsando en N1, N2, V1, V2 e introducindo r. A continuación calcula o lugar xeométrico do punto en perspectiva con respecto a P1 e como resultado obterás a correspondente cara vertical do cubo en perspectiva.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

A división do espazo cúbico

A realización dun debuxo como o anterior non basta por si mesma para comprender e experimentar o sentido de utilizar unha superficie cilíndrica para facer unha proxección cónica. As curvaturas que adquiren as liñas resultan ilusorias e asemellan o efecto dunha lente de ollo de pez, porque proxectar nun cilindro para despois desenvolver o resultado nun plano é un exercicio incompleto que ofrece unha imaxe errónea dos resultados. A única forma de comprobar a extraordinaria validez deste sistema de representación é, como dicía Leonardo, volver a situar o espectador á mesma distancia, elevación e ángulo de visión na que estaba o pintor á hora de facer a perspectiva. E dicir, imprimir a construción e presentala nun cilindro ao redor do espectador, para que a curvatura do cilindro corrixa a curvatura do debuxo, de xeito que a persoa poda observar como a perspectiva funciona correctamente mirando en calquera dirección do espazo e como os obxectos van facéndose progresivamente mas pequenos a medida que se afastan cara os laterais.

Para realizar esta práctica é necesario debuxar unha escena que rodee por completo ao espectador e posúa elementos repetidos a intervalos regulares, utilizando o mesmo sistema de proxección que na construción anterior. Dúas fachadas con columnas, unha situada fronte ao espectador e outra detrás do mesmo, ou unha praza empedrada vista dende o seu centro resultarían escenas ideais para realizar a proba, pero cando comecei a deseñar esta práctica, Xabier Lorenzo Abalde suxeriu utilizar os estudos da División do espazo cúbico de MC Escher como motivo. As estruturas contidas nesta serie de debuxos están baseada en cubos e prismas rectangulares e repítense de xeito regular ata o infinito, polo que conforman un espazo imaxinario ideal para representar mediante un sistema de proxección cónica nun cilindro. De feito, o propio MC Escher utilizou este sistema de proxección en moitos dos seus debuxos, por exemplo na Caixa de escaleiras.

JPEG - 5.5 MB

Xabier desenvolveu, anos atrás, na facultade de Belas Artes de Pontevedra, unha proposta similar á que desenvolvemos este ano na materia de Complementos para a Ensinanza das Artes, representando unha praza nun cilindro de papel; daquela traballando unicamente con lapis, regra e compás. Lamentablemente polo de agora, a súa experiencia non está documentada na web. Pola miña parte, despois da suxestión de Xabier, decidín debuxar un espazo inspirado nos debuxos de MC Escher para imprimilo nunha tira de papel de 420 mm x 2970 mm e velo montado nun aro de deporte do Decatlon de 850 mm de diámetro.

2015 VHPLab. I 2014 I 2013 I
Español I English