Representación de funcións tridimensionais con despregables usando Geogebra

martes 7 de novembro do 2017, por Horacio González Diéguez

Ao longo desta práctica con Xeometría Dinámica, concibida para unha sesión do Mestrado de Educación de 4 horas, imos traballar co programa Geogebra. Dada a limitación temporal da práctica, para poder levar a cavo o proxecto creativo que se propón é imprescindible practicar de antemán co programa e facer, cando menos, algunhas construcións co mesmo.

PNG - 26.4 KB
PNG - 58.1 KB

Na seguinte ligazón achego unha serie de unidades didácticas con construcións paso a paso, que adoito utilizar co alumnado e que resultan ideais para comezar a traballar con Geogebra.

Para aquelas persoas interesadas na xeometría que queiran afondar nos contidos da sesión, tamén achego a ligazón dun blogue de Debuxo Técnico e Xeometría Dinámica no que colaboro con Xabier Lorenzo e Paulo Porta. Practicamente todos os contidos do mesmo están desenvoltos con Geogebra.

Os programas de Xeometría Dinámica non son programas de CAD, son ferramentas sinxelas de debuxo paramétrico, concibidas como recurso didáctico para traballar no ordenador dun xeito análogo a como se facía con regra, escuadra e cartabón. Aínda que a simple vista poda parecer que teñen enormes limitacións, son ideais tanto para impartir clase como para aprender e, levados ao límite, resulta sorprendente o seu enorme potencial.

Nesta práctica imos utilizar os eixos de coordenadas e trasladar medidas de altura (Y), anchura (X) e profundidade (Z). Para facelo existen tres estratexias; utilizar rectas perpendiculares e o compás, facer traslacións con vectores unitarios e, finalmente, definir os puntos con coordenadas de outros puntos usando comandos.

Traslación de medidas mediante o compás

Na seguinte animación pódese observar un exemplo de como trasladar medidas de altura, anchura e profundidade usando rectas perpendiculares aos eixos e circunferencias con centro e raio dados. A animación está en diédrico e tomouse como Liña de Terra o eixo X. Nela podemos observar o principal problema que supón o uso do compás; a imposibilidade de trasladar valores negativos.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

En algunhas construcións pode darse o caso de que necesitemos tomar medidas que adquiren valores negativos. Por exemplo, alturas de obxectos que, en determinadas posicións, quedan debaixo do plano horizontal. Nestes casos debemos buscar un lugar de referencia no que esteamos seguros que os valores nunca van tomar valores negativos, do contrario, ao levar as medidas co compás producirase un erro. Dalgún xeito podemos imaxinar que trasladar unha medida co compás equivale a realizar unha operación de valor absoluto respecto da mesma.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Traslación de medidas mediante vectores unitarios

Na seguinte animación pódese observar un exemplo de como trasladar medidas de altura, anchura e profundidade facendo traslacións dun punto situado na orixe cos vectores unitarios. O truco é sinxelo, basta utilizar a ferramenta Traslación con calquera dos vectores unitarios (Vx, Vy, Vz) e, despois, corrixir a definición da mesma multiplicando o vector unitario polo valor da medida que desexamos trasladar xa que do contrario unicamente poderíamos trasladar o punto unha unidade de distancia en calquera das direccións do espazo.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
PNG - 124.5 KB

Traslación de medidas mediante coordenadas usando comandos

Finalmente, o xeito de trasladar medidas que menos cálculos require é utilizar os seus valores como coordenadas dun punto. Para facelo, simplemente hay que debuxar un punto libre e editar as súas propiedades, escribindo as coordenadas entre paréntese e separadas por unha coma, no apartado da definición do obxecto. Nunca usaremos directamente o valor da medida, se non que faremos referencia á mesma escribindo o seu nome. Esta esta mesma estratexia tamén permite utilizar as coordenadas de dous puntos, A e B, para definir un terceiro da seguinte maneira: (x(A), y(B)).

Na seguinte animación pódese observar un exemplo de como trasladar medidas de altura, anchura e profundidade facendo usando os valores como coordenadas. Como se pode observar o procedemento evitar ter que realizar ningunha clase de trazados polo que resulta particularmente optimizado para a realización de macros ou ferramentas.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
PNG - 103.1 KB

Elaboración dun despregable, Pop Up, básico

Un dos modelos mais sinxelos de despregable baséase en facer dous cortes perpendiculares á dobrez do papel e encartar todo de xeito que o fragmento entre os cortes quede en montaña e á dobrez do papel en val. Dependendo da lonxitude que teñan os cortes e da súa distancia á dobrez do papel, este sistema de facer despregables permite crear volumetrías con distintas alturas e profundidades.

Na seguinte ligazón podedes atopar unha explicación visual acerca de como elaborar este tipo de despregables.

Aínda que pareza unha técnica sinxela, cunha adecuada planificación dos cortes e das dobreces, este sistema permite construír volumetrías moi complexas. A seguinte selección de imaxes de Pinterest constitúe un bo exemplo das enormes posibilidades que ofrece esta técnica.

Creación dunha Macro para o trazado dos cortes e as dobreces do despregable

Para elaborar o noso proxecto con Geogebra, o primeiro que imos facer é crear unha ferramenta propia ou Macro que posibilite debuxar de xeito automático os cortes e as dobreces de cada elemento do despregable. Nesta ferramenta, partiremos dun punto no eixo X, que faremos coincidir coa dobrez do papel, e necesitaremos tres medidas: A primeira será o ancho de cada elemento e, como será constante, a chamaremos K, a segunda será a altura do elemento e a chamaremos Y, finalmente, a terceira será a profundidade do elemento que chamaremos Z.

Cada elemento do noso despregable terá tres dobreces, unha en val na parte inferior do papel, unha en montaña que quedará no aire, e outra en val na parte superior do papel. Para calcular a dobrez inferior simplemente debemos trazar un segmento paralelo ao eixo de coordenadas, por debaixo do mesmo, a unha distancia equivalente á profundidade do elemento, Z. Para calcular a dobrez que queda no aire, simplemente debemos trazar un segmento paralelo ao eixo de coordenadas, por riba da dobrez inferior, a unha distancia equivalente á altura do elemento, Y. Por último, para calcular a dobrez superior, simplemente debemos trazar un segmento paralelo ao eixo de coordenadas, por riba da dobrez que queda no aire, a unha distancia equivalente á profundidade do elemento, Z.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Para construír a ferramenta imos usar números en lugar de esvaradores, xa que despois resulta mais doado substituír o seu valor pola función que desexemos representar. Ademais usaremos coordenadas e os comandos x(P) e y(P) como sistema para trasladar medidas, co fin de simplificar ao máximo o trazado. Deste xeito, o único que necesitamos facer é definir seis puntos a partir de tres números cun valor calquera, K, Y e Z e un punto, A, situado no eixo X. Podes tomar como referencia a seguinte animación para saber como definir as coordenadas de cada un destes seis puntos.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Despois de crear os puntos e debuxar os segmentos que indican os dous cortes e as tres dobreces dun elemento do despregable, imos redefinir os valores dos números Y e Z, usando unha función calquera que dependa da coordenada X do punto A. Por exemplo, no despregable que aparece ao final deste artigo, definíronse a altura e a profundidade coas seguintes funcións, co obxectivo de obter dúas suaves parábolas.

Y = ((x(A) - 7) / 3)² + 1
Z = ((x(A) - 7) / 5)² + 1

Antes de crear a ferramenta para debuxar cada elemento do despregable, é interesante gardar o debuxo. Deste xeito poderemos crear múltiples ferramentas con funcións diferentes con facilidade e facer varias probas antes de imprimir o noso despregable final. Para crear cada ferramenta, basta seleccionar Crear nova ferramenta no menú de Ferramentas. Despois haberá que escoller os segmentos que indican os dous cortes e as tres dobreces como Obxectos de saída e o eixo X, o número K e o punto A como Obxectos de entrada. E, por último, haberá que dar nome á ferramenta e pulsar no botón Final.

Trazado e impresión do despregable final

Unha vez creada a ferramenta ou Macro, é moi doado debuxar todos os elementos do despregable. Simplemente hai que crear uha serie de puntos distribuídos uniformemente polo eixo X, tantos como elementos queiramos no despregable, e usar a ferramenta con cada un deles. É importante respectar certos marxes para que ao dobrar ningún dos elementos sobresaia do papel, para evitar isto, a suma dos valores de Y e Z nunca debe ser maior que a metade do papel.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Despois de debuxar o despregable completo, podemos exportar a vista gráfica como debuxo vectorial ou ir á Previsualización da impresión e gardar a vista gráfica como pdf. Deste xeito podemos obter un documento que resultará doado imprimir en cartolina en calquera copistería.

Descargar info document en formato PDF (3.9 KB)

Ninguna licencia específica (derechos por omisión)

Imaxes da experiencia en clase

2015 VHPLab. I 2014 I 2013 I
Español I English