1ª Fase (interpretación e plantexamento do problema):
O primeiro que faremos para resolver o problema é debuxar a plancha de poliéster, un rectángulo de 6 x 4 centímetros. Para isto utilizaremos a primeira macro, seguindo as instruccións da súa axuda:
"Selecciona as dimensións da base e da altura do rectángulo, un vector de traslación e os eixos de coordenadas".
en versión para PC ou Mac Os aquí:
- rectangulo.mac PC
- rectangulo.mac Mac
1. En primeiro lugar escribe dous números, 6 e 4, utilizando a ferramenta "Número". ¡Ollo, nunca utilices a ferramenta "Texto" para poñer números!
A continuación debuxa un vector calquera na esquina inferior esquerda da pantalla e desoculta os eixos de coordenadas.
Por último, aplica a macro "rectangulo" para debuxar o rectángulo de 6 x 4 centímetros. Primeiro pulsa sobre os dous numeros, a continuación sobre o vector, e por último, sobre os eixos de coordenadas.
solapas.zip
Applet creado con CabriJava
2. Debuxa unha circunferencia co centro no vértice inferior esquerdo do rectángulo e raio calquera. A continuación une os dous puntos de intersección da circunferencia co rectángulo mediante un segmento.
3. Debuxa o punto medio de cada un dos catro lados do rectángulo e une os puntos medios dos lados opostos mediante dous segmentos para marcar os dous eixos de simetria do rectángulo.
4. Utilizando a ferramenta "Simetría axial" imos levar tres dos vértices do cadrado a cada unha das catro esquinas do rectángulo. Ten en conta que o cuarto vertice de cada un dos cadrados coincidirá cun vértice do rectángulo.
Primeiro traza o punto simérico do vértice inferior esquerdo do rectángulo respecto ao eixo de simentría do cadrado.
A continuación traza os puntos simétricos de todos os vértices do cadrado respecto ao eixo de simetría horizontal do rectángulo, agás o que coincide co vértice do rectángulo.
E por último traza os puntos simétricos destes últimos seis puntos respecto ao eixo de simetría vertical do rectángulo.
5. Marca as catro solapas e o fondo da piscina mediante cinco polígonos. Repasa as tres dimensións da piscina (longo, ancho e fondo) con tres segmentos. E por último utiliza a ferramenta "Distancia o longitud" para medir os segmentos e poder calcular o volume da piscina para ese caso concreto coa calculadora.
2ª Fase (fase exploratoria):
Agora podes utilizar a segunda macro "Prisma isométrico" para debuxar a piscina e visualizar así a súa volumetría. Segue as instruccións da axuda da macro:
"Primeiro selecciona tres segmentos para as dimensións do prisma; ancho (x), longo (y) e alto (z). A continuación selecciona un vector de traslación. E por último selecciona os eixos de coordenadas".
¡Ollo non debes utilizar o mesmo vector que utilizaches coa primeira macro! Debuxa un novo vector para que as representacións da plancha de poliéster e da piscina sexan independentes.
en versión para PC ou Mac Os aquí:
- prisma.mac PC
- prisma.mac Mac
6. Debuxa un vector calquera na esquina inferior esquerda da pantalla e aplica a macro "Prisma isométrico" pulsando; primeiro sobre os tres segmentos que indican as tres dimensións da piscina, a continuación sobre o vector, e por último, sobre os eixos de coordenadas.
7. Observa como varía o volume da piscina cando modificas o tamaño da circunferencia e responde as seguintes preguntas.
b) ¿Para todos os posibles tamaños da circunferencia existe unha solución válida?
c) ¿É necesario limitar o tamaño da circunferencia? ¿Por que? ¿Cal é o tamaño máximo que debe tomar a circunferencia para que a solución teña sentido?
d) ¿Como crees que poderías averiguar o volume máximo da piscina?
3ª Fase (técnica gráfica):
8. Para limitar o tamaño máximo da circunferencia debuxa un segmento que pase polo vértice inferior esquerdo do rectángulo e o punto medio do lado contiguo mais pequeno.
A continuación debuxa una circunferencia con centro no mesmo vértice e raio ata un punto calquera do segmento que acabas de debuxar.
E por último, utiliza a ferramenta "Redefinir un objeto" para identificar a circunferencia inicial coa que acabas de debuxar.
Utiliza a axuda da macro para representar a gráfica do volume tendo en conta que a dimensión independiente da construcción é a que coincide co lado do cadrado, e dicir a altura da piscina: "Selecciona a dimensión do lado independiente, o valor do volume e os eixos de coordenadas"
en versión para PC ou Mac Os aquí:
- GaficaVolumen.mac PC
- GaficaVolumen.mac Mac
9. Aplica a macro "Gráfica del volumen" pulsando; primeiro sobre o valor da altura da piscina, a continuación sobre o valor do volume, e por último, sobre os eixos de coordenadas.
Unha vez aplicada a macro calcula o lugar xeométrico do punto da gráfica respecto ao extremo do raio da circunferencia.
10. O lugar xeométrico que acabas de debuxar é unha curva que representa o xeito no que varía o volume en función do tamaño do lado do cadrado que se utilizou para recortar as solapas, na plancha de poliéster. Observa o comportamento de dita curva e responde as seguintes preguntas.
b) ¿Para todos os posibles tamaños da circunferencia existe unha solución válida?
c) ¿Cales sons os valores mínimo e máximo que pode tomar o lado do cadrado? ¿Que sucedería se o lado do cadrado, representado no eixo da X, tomase valores inferiores ou superiores aos valores mínimo e máximo?
d) ¿Cal é a expresión matemática das relacións xeométricas que se estableceron na pláncha de poliéster? Utiliza dita relacións para atopar un modelo mátemático que exprese a curva da variación do volume como unha función V(x) na que V sexa o volume da piscina e X o lado do cadrado.
4ª Fase (o modelo matemático):
11. Para continuar explorando a forma en que varía o volume da piscina e intentar entender as condicións que se dan cando o volume da piscina ten un valor máximo, imos utilizar a recta tanxente á curva da variación do volume polo punto da gráfica. Dado que a curva non é nin unha circunferencia nin unha curva cónica, non podemos cacular a súa tanxente nun punto de forma gráfica. Imos ter que utilizar
as matemáticas para atopala; calcularemos o valor da pendente desta recta coa derivada da función V(x).
No debuxo que acabamos de facer, para ver como varía o volume da piscina, modificamos o lado do cadrado. Toda a construcción depende da lonxitude deste segmento, varía en función do mesmo. Polo tanto, a variable da nosa función será, loxicamente, a lonxitude do lado do cadrado que a súa vez é igual á altura da piscina.
Por outra banda, un dos lados da piscina será igual ó lado menor da plancha de poliéster menos dous cadrados, é dicir 4 metros menos dúas veces x. E o outro lado da piscina será igual ó lado maior da plancha de poliéster menos outros dous cadrados, é dicir 6 metros menos dúas veces x.
Dado que o volume dun prisma de base rectangular é igual ao producto dos seus lados V(x) será igual ao producto de x, 4 - 2x e 6 - 2x. Nembargantes, en cabri non podemos introducir directamente os valores, para facer os calculos coa calculadora. As dimensións da plancha de poliéster, 4m e 6m, son números escritos na pantalla, que poden modificarse en calquera momento. No cálculo da función V(x) será necesario substituir os seus valores por letras.
V(x) = x · (a - 2x) · (b - 2x);
V(x) = 4x3 - (2a+2b)x2 + abx;
A partires da función V(x) e seguindo os pasos da unidade número 5 tamén e posible debuxar unha gráfica para observar como varía o volume cando a x toma valores negativos ou superiores a metade do lado mais pequeno da plancha de poliéster.
12. A modo de recordatorio, anota a función V(x) e a súa derivada na esquina superior dereita da pantalla, coa ferramenta "texto".
13. Utiliza a calculadora para calcular o resultado da derivada para os valores actuais de x e dos lados a e b, ¡ollo, cando teñas que introducir os valores x, a, b, pulsa nos números correspondentes da pantalla en lugar de introducir os seus valores tecleando!
14. Arrastra o resultado ata a pantalla e pulsa sobre a palabra "Resultado" coa ferramenta "Texto" seleccionada. Así poderás escribir "Pendente da recta tanxente" no seu lugar.
Agora podes utilizar a última macro "Recta tanxente" para debuxar recta tanxente á curva da variación do volume polo punto da gráfica. Segue as instruccións da axuda da macro:
"Primeiro selecciona o valor dunha das tres dimensións da piscina, debe ser o segmento independente da construcción. A continuación selecciona o valor do volume e o valor da pendente da recta. E por último selecciona os eixos de coordenadas".
en versión para PC ou Mac Os aquí:
- RectaTangente.mac PC
- RectaTangente.mac Mac
15. Aplica a macro "Recta tanxente" pulsando; primeiro sobre o valor do lado do cadrado, a continuación sobre o valor do volume, despois no valor da pendente da recta e por último, sobre os eixos de coordenadas.
