Introdución á Xeometría Dinámica

Domingo 10 de noviembre de 2019, por Horacio González Diéguez.

Citar

González Diéguez, Horacio. Introdución á Xeometría Dinámica [online]. Santiago de Compostela, España, VHPlab, noviembre de 2019 [versión de noviembre de 2019] [Consultado el ]. Disponible en Internet: https://www.vhplab.net/spip.php?article433

Que é un debuxo paramétrico?

No ámbito do CAD existen dous tipos de programas, aqueles que almacenan o debuxo como un conxunto de coordenadas de puntos e aqueles que almacenan o debuxo como un conxunto de operacións xeométricas. O segundo tipo de programas denomínanse paramétricos xa que os distintos elementos do debuxo están asociados entre si mediante relacións xeométricas, de xeito que os primeiros elementos debuxados actúan como parámetros dos elementos debuxados a continuación.

Cando debuxamos e gardamos, en SVG, a mediatriz dun segmento de 100 mm, centrado no espazo de traballo, con Illustrator, vemos que no arquivo resultante hai dúas liñas independentes que, casualmente, están centradas unha respecto da outra. Illustrator non é un programa paramétrico polo que os elementos do debuxo son, en definitiva, conxuntos de coordenadas que non están vencellados entre si. Neste tipo de programas, podemos borrar, mover ou transformar calquera das dúas liñas sen afectar á outra.

<line class="st0" x1="-963.1" y1="1417.7" x2="-679.6" y2="1417.7"/>
<line class="st0" x1="-821.3" y1="1446.1" x2="-821.3" y2="1389.4"/>
PNG - 148.8 KB

Pola contra, cando debuxamos a mediatriz dun segmento con Geogebra, obtemos un arquivo moito mais complexo, como resultado, no que hay dous elementos iniciais xunto cunha serie de comandos e elementos resultantes.

<element type="point" label="A">
        <show object="true" label="true"/>
        <objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
        <layer val="0"/>
        <labelMode val="0"/>
        <animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
        <isShape val="false"/>
        <coords x="-2.0" y="0.0" z="1.0"/>
        <pointSize val="5"/>
        <pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="B">
        <show object="true" label="true"/>
        <objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
        <layer val="0"/>
        <labelMode val="0"/>
        <animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
        <isShape val="false"/>
        <coords x="2.0" y="0.0" z="1.0"/>
        <pointSize val="5"/>
        <pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
        <input a0="A" a1="B"/>
        <output a0="f"/>
</command>
<element type="segment" label="f">
        <show object="true" label="true"/>
        <objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
        <layer val="0"/>
        <labelMode val="0"/>
        <isShape val="false"/>
        <coords x="0.0" y="4.0" z="-0.0"/>
        <lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
        <outlyingIntersections val="false"/>
        <keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="LineBisector">
        <input a0="f"/>
        <output a0="g"/>
</command>
<element type="line" label="g">
        <show object="true" label="true"/>
        <objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
        <layer val="0"/>
        <labelMode val="0"/>
        <isShape val="false"/>
        <coords x="-4.0" y="0.0" z="-0.0"/>
        <lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
        <eqnStyle style="implicit"/>
</element>
Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Geogebra si é un programa paramétrico polo que, para trazar o segmento, utiliza unha función (comando) chamada Segmento que toma como parámetros os puntos A e B. Do mesmo xeito, para trazar a mediatriz utiliza outra función chamada Bisector de Liñas que toma como parámetro o segmento, f. A e B son parámetros do segmento f, así como f é parámetro da mediatriz g. Cando movamos, transformemos ou borremos calquera dos dous puntos, o segmento e a mediatriz veranse afectados e Geogebra terá que actualizar a construción. Cando intentemos mover a mediatriz directamente veremos que é imposible, xa que esta depende enteiramente da posición de A e B e unicamente podemos movela cambiando a posición dos puntos.

Que é a Xeometría Dinámica?

A Xeometría Dinámica é unha concepción da xeometría que aborda o seu estudo, exploración e ensinanza da a través de trazados e construcións paramétricos. Erroneamente tende a entenderse a Xeometría Dinámica como un mero recurso didáctico, como unha ferramenta TIC, pero na medida en que se afonda nas súas implicacións e potencialidades, descúbrese un cambio radical de paradigma que abre un campo infinito de posibilidades e ensancha irreversiblemente a forma de entender a xeometría.

A Xeometría Dinámica concibe de xeito diferente a construción xeométrica, abandona a procura dun resultado, como trazado único, invariable e fixo que ofrece a solución a un problema, para entender a construción xeométrica como un mecanismo, como unha máquina analítica que permite descubrir resultados e problemas múltiples, a través de infinitas posicións intermedias. Así como o trazado preciso e rigoroso é a esencia do Debuxo Técnico, os lugares xeométricos son a esencia da Xeometría Dinámica. Cando elaboramos unha construción paramétrica, tratamos de articular un conxunto de operacións xeométricas o mais estable posible que permita sustanciar un lugar xeométrico para velo, estudalo ou operar con el, a través dunha nova ferramenta ou macro.

Ata as construcións xeométricas mais sinxelas abórdanse dun xeito completamente diferente no papel que na Xeometría Dinámica. Por exemplo, para debuxar un cadrado a partir dun segmento, no papel trazariamos dúas rectas perpendiculares ao segmento polos seus extremos e levariamos a medida do segmento ata ás perpendiculares, utilizando o compás. Pola contra, en Xeometría Dinámica, prescindiriamos das rectas e do compás e fariamos directamente rotacións de 90º dos dous extremos do segmento, un con respecto ao outro. Este ultimo método utiliza menos elementos xeométricos porque non require nin das rectas perpendiculares, nin das circunferencias e, ademais, evita o cálculo da intersección das circunferencias coas rectas; unha solución ambigua e inestable, xa que hai dous puntos de interseccións que son indistintos para o ordenador.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Con todo, é nos trazados complexos onde a Xeometría Dinámica ofrece estratexias de traballo mais sorprendentes, que se afastan enormemente dos métodos recollidos nos tratados convencionais de xeometría. Por exemplo, trazar axonometrías en diédrico mediante acumulacións de xiros ou debuxar a perspectiva cónica, tamén en diédrico, utilizando as trazas de rectas que van do punto de vista aos obxectos. Formas de traballar que persoas como Xabier Lorenzo, Paulo Porte e eu adoitamos utilizar á hora de facer construcións con Xeometría Dinámica e que nada teñen que ver co que ensinan os libros de texto. Aínda que a explicación acerca de como se chega a ditas estratexias excede unha introdución á Xeometría dinámica, traballos como os seguintes son bos exemplos das excepcionais posibilidades que ofrecen.

O paradoxo de Leonardo
Perspectiva cónica dunha esfera e da súa sombra
Perspectiva estereoscópica dun dodecaedro (Xabier Lorenzo)
Campo de cubos en perspectiva atmosférica (Xabier Lorenzo)

Para que podemos utilizar Geogebra?

1º Para dar clase

Geogebra é unha ferramenta ideal para dar clase que permite debuxar as construcións e trazados na pantalla ou no encerado dixital, en lugar de facelo con xices no encerado convencional. Xa os primeiros programas de Xeometría Dinámica, como Cabri Geometre (desenvolto a finais dos anos 80 na universidade de Grenoble), foron concibidos como ferramentas educativas que permitisen facer o que se pode facer con regra, escuadra, cartabón e compás, no ordenador. Os programas de Xeometría Dinámica son, polo tanto, o complemento ideal dos encerados dixitais, para o Debuxo Técnico.

Por outra banda, a posibilidade que ofrece a Xeometría Dinámica de manipular as construcións modificando os elementos iniciais, para observar como cambia o resultado, fai de Geogebra é unha ferramenta perfecta para facer estudos de casos que permitan ver todas as variantes dun mesmo trazado a partir dunha soa construción.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

2º Para estudar

Geogebra é un programa excelente para servir de reforzo no estudo da xeometría, transcribir as construcións de calquera libro de texto a Xeometría Dinámica é un proceso que obriga a entender e interiorizar o sentido das operacións xeométricas que conteñen. Facer unha construción con Xeometría Dinámica é un exercicio que permite comprobar o seu funcionamento, explorala en todas as súas variantes e posicións particulares e avaliar se é valida para todos os casos e se é precisa ou aproximada. Fronte ao clásico aprendizaxe memorístico de construcións e trazados do Debuxo Técnico, a Xeometría Dinámica promove un aprendizaxe comprensivo e en profundidade da xeometría.

3º Para crear recursos educativos

Geogebra facilita enormemente crear e publicar recursos educativos de Debuxo Técnico e doutras materias. Ten unha interface sinxela e intuitiva que permite comezar a traballar co programa directamente e sen necesidade dunha formación específica. Ademais, ofrece unha opción de compartir en Internet que permite publicar os contidos directamente a través do portal da plataforma.

Existen catro tipoloxías de contidos que podemos crear con Xeometría dinámica. Podemos elaborar esquemas que permitan amosar e ocultar partes do trazado de xeito interactivo, animacións que explican un trazado paso a paso, construcións nas que se pode modificar determinados elementos do trazado para ver como cambia o resultado e representacións en perspectiva nas que se pode cambiar de punto de vista ou rotar e mover os obxectos.

4º Para elaborar esbozos e estudos previos durante a realización dun proxecto

Geogebra é unha ferramenta na que se traballa con moita rapidez, podemos utilizalo para elaborar esbozos dos nosos deseños e realizar os cálculos matemáticos que requiran. Tamén podemos utilizalo para facer esquemas do funcionamento de mecanismos ou pezas móbiles e mesmo para tomar apuntes. Pola contra, debuxar planos detallados e complexos con Geogebra é pouco operativo xa que non se trata dunha ferramenta CAD ao uso, a súa saída a papel resulta bastante problemática e, ao traballar con unidades matemáticas abstractas, obriga a establecer equivalencias e escalas. Geogebra é polo tanto unha ferramenta para o deseño e o esbozo xeométrico non para a realización de planos técnicos.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

5º Para facer debuxos e exportalos en SVG

Un dos puntos débiles da maioría dos programas de Xeometría Dinámica é a interoperabilidade. Son programas que necesitan utilizar formatos propios, non universais, que ofrecen poucas posibilidades de integrar, o que fagamos con eles, nun fluxo de traballo con outros programas. Neste sentido, Geogebra é unha excepción, xa que conta cunha opción para exportar as construcións no formato vectorial SVG.

Esta utilizade, incrementa enormemente os potenciais usos do programa xa que posibilita empregar as construcións que fagamos con Geogebra noutros programas, por exemplo realizar planos e debuxos complexos con Inkscape ou Illustrator utilizando varias construcións, mais pequenas, feitas en Geogebra ou mesmo facer corte láser a partir de trazados deseñados dinamicamente.

Descargar Plano de montaxe do labirinto de canicas de Horacio González Diéguez en formato PNG (1.1 MB)

CC by-nc-sa

Catro metodoloxías para traballar con Geogebra na aula

1º Facer as construcións no encerado

A forma mais inmediata de comezar a traballar con Geogebra, na aula, é realizar as construcións no encerado paso a paso e ir dando as indicacións necesarias para que o alumnado poda facelas, á vez que o profesor ou profesora. Este método é moi directo e non require preparación, pero obriga a manter un nivel constante de atención na clase e todo o mundo debe avanzar á vez, polo que é necesario esperar ás persoas que vaian mais lentas.

2º Transcribir as construcións do libro

Unha posibilidade para que o alumnado traballe dun xeito mais independente consiste en escoller unha construción do libro e propoñer que traten de transcribila a Xeometría Dinámica, de xeito individual ou por equipos. Este método tamén é moi directo e permite dar atención personalizada ao alumnado grupo por grupo, pero unicamente pode levarse a cabo en niveis altos nos que o alumnado teña desenvolta a capacidade de abstracción espacial e matemática, por exemplo no Bacharelato.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

3º Preparar instrucións paso a paso

Outra forma de traballar na aula é preparar instrucións que expliquen como facer as construcións paso a paso e entregalas nunha fotocopia, compartilas nun PDF ou mesmo publicalas na web. Este método é ideal para promover o traballo autónomo e facilita que todas as persoas podan avanzar ao seu ritmo se incluímos suficientes construcións de ampliación e de reforzo. Pola contra a preparación deste tipo de recursos resulta lenta e laboriosa.

Unidades didácticas para Geogebra
Unidades didácticas para Cabri Geometre II

4º Gravar vídeo tutoriais

Por último, unha metodoloxía moi recomendable é utilizar tutoriais en vídeo. Gravar unha captura da pantalla mentres facemos unha construción e utilizala como tutorial é relativamente sinxelo e rápido. Podemos publicalas a través de Youtube ou Vimeo e compartilas co alumnado para que fagan construcións seguindo o vídeo, tanto na súa casa, como na clase. Este sistema ofrece todas as vantaxes das instrucións paso a paso por escrito, pero resulta moito mais directo tanto para o alumnado á hora de facer as construcións como para o profesorado á hora de preparar os recursos necesarios.