Translación, rotación e homotecia

Lunes 15 de noviembre de 2021, por Horacio González Diéguez.

Citar

González Diéguez, Horacio. Translación, rotación e homotecia [online]. Santiago de Compostela, España, VHPlab, noviembre de 2021 [versión de noviembre de 2021] [Consultado el ]. Disponible en Internet: https://www.vhplab.net/spip.php?article435

En calquera temario de Debuxo Técnico de Bacharelato atoparemos varias unidades didácticas relacionadas coas transformacións no plano. Tratase de temas de natureza introdutoria que adoitamos abordar a comezo do curso para familiarizar ao alumnado coas ferramentas de debuxo e coas operacións xeométricas básicas. Esta proposta de traballo ofrece un xeito distinto de aproximarse a tres transformacións relativamente sinxelas; a translación, a rotación e a homotecia.

Sobre o papel, tratase de operacións que poden resultar bastante mecánicas e insulsas, pero non convén esquecer que, por medio da combinación destas tres operacións, podemos transformar unha figura en calquera outra que sexa semellante. Ademais, grazas á iteración e á recursividade, no ordenador poden resultar operacións fascinantes.

A proposta está inspirada nunha serie de deseños elaborados por Berio Molina e Iria Hermida, para a imaxe corporativa do Festival IFI, que foron realizados entre os anos 2002 e 2003, en Corel Draw, utilizando a ferramenta Mezcla Interactiva.

Aproveitando a posibilidade que ofrece Geogebra de crear ferramentas propias e usando unha estratexia similar á que facilita o trazado da maioría dos fractais en xeometría dinámica, imos crear unha serie de ferramentas para crear deseños xeométricos complexos que se podan modificar paramétricamente. A idea é sinxela, trátase de reducir ou ampliar, trasladar e rotar unha figura sucesivamente, múltiples veces, ata crear un patrón rítmico, que despois poderemos manipular e modificar ao noso gusto, cambiando a posición dun punto ou os valores dun esvarador.

Calquera aplicación recursiva das ferramentas de translación, rotación e homotecia de Geogebra ofrecerá resultados visualmente parecidos, pero, ao tratarse de operacións que non son conmutativas, as construcións terán comportamentos radicalmente distintos, en función da orde en que se apliquen as transformacións. Como podemos observar no seguinte gráfico, non é o mesmo rotar e trasladar unha figura que trasladala e despois rotala.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

O curso 2018-2019, no IES Eduardo Pondal, desenvolvín unha actividade complementaria do tema 8 do libro de Debuxo Técnico I, ensinando ao alumnado de 1º de Bacharelato a crear ferramentas de homotecia e rotación recursivas, nunha das sesións de traballo que adoitabamos facer con Geogebra, na aula informática do centro. A proposta permitiu explorar de xeito creativo as posibilidades das transformacións xeométricas e reflexionar sobre as mesmas, pero sobre todo, foi enormemente motivadora para o alumnado, debido ao atractivas e sorprendentes que son as construcións resultantes. A continuación atoparedes tres exemplos dos traballos levados a cabo polos alumnos e alumnas de dito curso.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
Pulsa para cargar a construcción en Geogebra
Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Como exemplo de traballo a través de pequeno proxecto, para as dúas sesións de clase que imparto no Mestrado de Educación, este curso, vou propoñer repetir a experiencia do IES Eduardo Pondal e aplicala ao deseño de tatuaxes xeométricas, que imprimiremos en papel de tatuaxe temporal, na segunda sesión de clase. Como na maioría das propostas de traballo con Geogebra que desenvolvo no mestrado, a clave deste pequeno proxecto é a combinación do traballo dixital e manual. A intención é articular unha dinámica de traballo que implique sacar os resultados da pantalla do ordenador e levalos á realidade, poñer en relación o que facemos no ordenador co que facemos coa regra, o xogo de escuadras e o compás, desenvolvendo fluxos de traballo mixtos que integren múltiples ferramentas. Deste xeito trataremos de romper as barreiras que, artificialmente, creamos entre o manual e o dixital e de facilitar a posta en relación dos coñecementos que adquirimos en cada un dos dous ámbitos.

Creación dunha ferramenta de Geogebra para elaborar deseños de tatuaxes

Imos elaborar deseños enormemente complexos, partindo dunha figura sinxela, como un triángulo, usando a rotación, a translación e a homotecia de xeito recursivo, grazas á utilidade para crear ferramentas de Geogebra. Rotaremos trasladaremos e reduciremos ou ampliaremos o triángulo sucesivas veces ata crear un patrón composto por decenas de triángulos semellantes, que ao final da construción será posible modificar de xeito paramérico, como no exeplo que aparece a continuación.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Utilizaremos como centro de rotación o baricentro do triángulo, xa que é un punto que podemos calcular con facilidade a partir da figura inicial. Así evitaremos ter que engadilo como elemento de entrada na nosa ferramenta. Por esa mesma razón, en lugar de utilizar os tres vértices orixinais do triángulo para trazar o baricentro, os ocultaremos e calcularemos ditos puntos de novo a partir dos lados do triángulo, como puntos de intersección. Isto é fundamental xa que desexamos utilizar o triángulo inicial como elemento de entrada da ferramenta en lugar dos tres vértices e, ao tratarse de puntos libres, no caso de utilizalos ao longo da nosa construción, sería obrigatorio incluílos como elementos de entrada na ferramenta.

O uso recursivo da homotecia producirá un efecto moi característico de redución progresiva da figura inicial. Para acompasar a translación da figura con este efecto de redución progresiva, en cada paso da construción, aplicaremos a homotecia, tanto á figura de entrada como ao vector de translación. De este xeito, a distancia de translación irá variando de xeito proporcional ao tamaño da figura.

Pulsa para cargar a construcción en Geogebra

Co fin de explorar as posibilidades estéticas do traballo con liñas claras e planos translúcidos, na construción do exemplo cambiouse as propiedades da vista gráfica, dos triángulos e dos segmentos, utilizando un fondo escuro, cores claras e transparencias. Todo aquelo que sexa branco na pantalla, verase transparente nas tatuaxes, xa que as impresoras aproveitan o propio papel como fondo branco e unicamente imprimen as cores primarias e o negro. Polo tanto, ao retirar a capa de pigmentos do papel, para pegar a tatuaxe temporal na pel, as áreas brancas quedarán completamente transparentes e aquelas que sexan o suficientemente claras, quedarán translúcidas. En todo caso, unha vez rematadas as construcións, será fundamental exportar a vista gráfica co fondo transparente para eliminar a cor negra. O fondo negro serve, exclusivamente, para facilitar a visualización das liñas claras e os efectos de transparencia na pantalla do ordenador, pero eliminaría calquera efecto de transparencia na tatuaxe.